số nguyên lớn nhất không vượt quá là

By Admin 21/11/2023 0

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Hàm Ceiling

Trong toán học tập và khoa học tập PC, hàm floor (phần vẹn toàn nhỏ hơn) và ceiling (phần vẹn toàn rộng lớn hơn) là những quy tắc mang lại ứng một vài thực vô một vài vẹn toàn sớm nhất phía trái và ở bên phải số tiếp tục mang lại. Vậy floor(x) là số vẹn toàn lớn số 1 ko vượt lên vượt x, còn ceiling(x) là số vẹn toàn nhỏ nhất rất to lớn rộng lớn x.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Gauss trình làng cặp ngoặc vuông [x] mang lại hàm floor vô tương hỗ bậc nhì (1808).[1] Nó vẫn chính là ký hiệu xài chuẩn[2] vô toán học tập cho tới khi Iverson trình làng những hàm "floor" và "ceiling" với những ký hiệu và vô năm 1962 vô ngữ điệu thiết kế APL của ông ấy.[3][4] Bây giờ cả nhì cơ hội ký hiệu vẫn đang rất được người sử dụng vô toán học tập.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

x Floor(x) Ceiling(x) Phần lẻ
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7

Đọc phần bên dưới nhằm hiểu thêm về khái niệm phần lẻ.

Định nghĩa và tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những công thức tiếp sau đây x và y là những số thực, k, m, và n là những số vẹn toàn, và là tụ hội số vẹn toàn (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling hoàn toàn có thể được khái niệm vày tụ hội như sau

Trong nửa khoảng chừng có tính lâu năm vày một đem có một không hai một vài vẹn toàn, vậy với số thực x tùy ý, đem có một không hai cặp m, n thỏa mãn:

Khi bại liệt và hoàn toàn có thể là khái niệm cho những hàm floor và ceiling.

Phần lẻ x ký hiệu là hàm số khái niệm theo đuổi công thức sau, và toán tử mô-đun được khái niệm theo đuổi công thức:

Tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức tiếp sau đây dùng để làm rút gọn gàng những biểu thức chứa chấp những hàm floor, ceiling.[5]

Trong ngữ điệu của lý thuyết trật tự, hàm floor là một trong những ánh xạ thặng dư, hay 1 phần của một links Galois: nó là phối hợp bên trên của hàm số nhúng những số vẹn toàn vô tụ hội số thực.

Các công thức tiếp sau đây thể hiện quy tắc khi thêm vào đó một vài vẹn toàn vô những hàm phần vẹn toàn như vậy nào:

Các công thức bên trên ko chính nếu như n ko nên số vẹn toàn, tuy rằng vậy:

Mối tương tác trong số những hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Từ khái niệm đơn giản và dễ dàng đem được

vết vày xẩy ra khi và chỉ khi x là số vẹn toàn, i.e.

n là số vẹn toàn thì:

Khi số âm là đối số thì thay đổi những hàm floor và ceil đôi khi trả vết trừ đi ra ngoài:

tức là:

Về phần lẻ:

Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm lũy đẳng:

Dễ thấy những đẳng thức sau là đúng:

Với y đem tấp tểnh thì, x mod y là hàm lũy đẳng:

Cũng kể từ khái niệm tớ đem,

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n ≠ 0,

Nếu n > 0,

Nếu m > 0,

Với m = 2:

Tổng quát mắng,[6] với m > 0,

Biểu thức tiếp sau đây dùng để làm quy đổi floor quý phái ceiling và ngược lại (m > 0)[7]

Nếu m và n là những số vẹn toàn dương và yếu tố cùng với nhau, thì

Vì vế nên của biểu thức bên trên đối xứng theo đuổi m và n, vậy nên tớ đem biểu thức bên dưới đây

Tổng quát mắng, nếu như m và n vẹn toàn dương:

Cho những số vẹn toàn dương m, n và số thực tình cờ x:

Sự liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Không đem hàm nào là tất cả chúng ta đang được xét là liên tiếp cả, tuy nhiên đều tuyến tính bên trên từng đoạn. và là hàm hằng bên trên từng đoạn và con gián đoạn bên trên những điểm vẹn toàn. Hàm cũng con gián đoạn bên trên những điểm vẹn toàn, và với biến đổi x hằng y con gián đoạn bên trên những bội của y.

là cung cấp liên tiếp bên trên còn và là cung cấp liên tiếp bên dưới. x mod y là cung cấp liên tiếp bên dưới với y dương và là cung cấp liên tiếp bên trên với y âm.

Khai triển chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm tất cả chúng ta đang được xét đều ko liên tiếp vì vậy bọn chúng không tồn tại những khai triển chuỗi lũy quá. Hàm floor và ceiling ko liên tiếp nên không tồn tại khai triển Fourier.

Với hắn cố định và thắt chặt, x mod y đem khai triển Fourier [8]

Xem thêm: có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30

Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển:

Dùng công thức {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} tớ có

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Phần lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm phần lẻ là hàm răng cưa, ký hiệu với x là số thực, được khái niệm vày công thức[9]

Với từng x,

Với x>0 vô dạng thập phân, floor(x) là Phần Viền trái khoáy của màn trình diễn thập phân, phần lẻ của x là Phần Viền nên khi thay cho toàn bộ những số phía trái vày 0.

Toán tử mod[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y ≠ 0, xác lập theo đuổi công thức

x mod y luôn luôn nằm trong lòng 0 và y; i.e.

Nếu y > 0,

còn nếu như y < 0,

Nếu x vẹn toàn còn y vẹn toàn dương,

x mod y với y đem tấp tểnh là hàm răng cưa.

Luật tương hỗ bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh loại tía của Gauss về luật tương hỗ bậc nhì, được hiệu gắn vày Eisenstein, đem nhì bước cơ bạn dạng.[10][11]

Cho p và q là nhì số yếu tố lẻ phân biệt, và bịa đặt

Đầu tiên, té đề Gauss được dùng làm cho thấy rằng ký hiệu Legendre hoàn toàn có thể được xem vày những công thức

và

Bước loại nhì là dùng một lập luận hình học tập nhằm chứng minh rằng

Kết thích hợp những biểu thức bên trên tớ đem luật tương hỗ bậc nhì bên dưới dạng

Một số công thức dùng hàm floor nhằm màn trình diễn sự tương hỗ bậc nhì của những số nhỏ modulo số yếu tố lẻ p:[12]

Làm tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Việc thực hiện tròn trặn những số dương x cho tới số vẹn toàn sớm nhất được thao diễn mô tả như sau

Số những chữ số[sửa | sửa mã nguồn]

Số những chữ số vô hệ cơ số b của số vẹn toàn dương k là

Thừa số của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

đặt n vẹn toàn dương và p là số yếu tố. Lũy quá của p vô khai triển của n! được mang lại vày công thức[13]

Chú ý rằng này đó là tổng đem số lượng giới hạn, số hạng vày ko khi pk > n.

Dãy Beatty[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy Beatty đã cho chúng ta thấy cơ hội nhưng mà từng số vô tỉ dương đưa đến một phân hoạch những số vẹn toàn trở thành nhì mặt hàng vày hàm floor.[14]

Hằng số Euler γ[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là những công thức mang lại Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa chấp những hàm floor và ceiling, chẳng hạn:[15]

và

Hàm Riemann ζ[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức mang lại số vẹn toàn tố[sửa | sửa mã nguồn]

n là số yếu tố khi và chỉ khi[16]

r là số vẹn toàn to hơn 1, pn là số yếu tố loại n, ký hiệu

Thì[17]

Có số θ = 1.3064... với tính chất

đều là số yếu tố.[18]

Cũng được thêm số ω = 1.9287800... mà

đều yếu tố.[18]

π(x) là số những số yếu tố nhỏ rộng lớn hoặc vày x. Nó được suy đoán kể từ Định lý Wilson[19]

Nếu n ≥ 2,[20]

Không công thức nào là bên trên phía trên phần mềm thực tiễn.

Vấn đề tiếp tục giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Ramanujan tiếp tục gửi những vấn đề tại đây cho tới Journal of the Indian Mathematical Society.[21]

Xem thêm: độ dài vecto

Cho n là số vẹn toàn dương, minh chứng rằng:

Vấn đề ko giải quyết[sửa | sửa mã nguồn]

Có số vẹn toàn dương k nào là thỏa mãn nhu cầu, k ≥ 6, mà:[22]

Mahler[23] tiếp tục minh chứng chỉ mất hữu hạn số k như vậy; song người tớ vẫn chưa chắc chắn số nào là vì vậy.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hàm số vẹn toàn sớm nhất.
  • Truncation, một hàm tương tự động.
  • Step function.

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Lemmermeyer, pp. 10, 23
  2. ^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's
  3. ^ Higham, p. 25
  4. ^ Iverson
  5. ^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
  6. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
  7. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
  8. ^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
  9. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
  10. ^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
  11. ^ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
  12. ^ Lemmermeyer, p. 25
  13. ^ Hardy & Wright, Th. 416
  14. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
  15. ^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
  16. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  17. ^ Hardy & Wright, § 22.3
  18. ^ a b Ribenboim, p. 186
  19. ^ Ribenboim, p. 181
  20. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  21. ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  22. ^ Hardy & Wright, p. 337
  23. ^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • J.W.S. Cassels (1957). An introduction đồ sộ Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press.
  • Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9
  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction đồ sộ the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
  • Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
  • ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
  • Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
  • Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler đồ sộ Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4
  • Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766
  • Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
  • Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
  • Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (ấn bạn dạng 2), Oxford: Oxford U. P.., ISBN 0-19-853369-1

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 10/24/2008