Trong toán học tập, giai thừa là 1 trong những toán tử một ngôi bên trên tụ hợp những số bất ngờ. Cho n là một vài bất ngờ dương, "n giai thừa", ký hiệu là tích của n số bất ngờ dương trước tiên.
Ví dụ:
Đặc biệt, với , người tớ quy ước , phù hợp quy ước của một tích trống trải.[1] Ký hiệu n! được sử dụng lần thứ nhất tự Christian Kramp vô năm 1808. Giai quá được thông dụng trong không ít mảng không giống nhau của toán học tập, đa phần là mảng tổng hợp, vì như thế đấy là số cơ hội không giống nhau nhằm đảo lộn một group đối tượng người dùng nào là cơ.
Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]
Ta hoàn toàn có thể khái niệm đệ quy (quy nạp) n! như sau
- với
Một số đặc thù của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
- Giai quá sở hữu vận tốc tăng thời gian nhanh rộng lớn hàm nón tuy nhiên chậm rì rì rộng lớn hàm nón nhị tầng () sở hữu nằm trong cơ số và nón.
- (Công thức Stirling).
- Đây là dạng nâng lên của công thức Stirling, cũng chính là ước tính với chừng đúng đắn tối đa (sai số lớn số 1 , Khi n càng rộng lớn thì sai số càng nhỏ).
Đây là công thức ước tính của Srinivasa Ramanujan.
Các hệ thức dùng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
- Công thức tính số tổ hợp:
- Công thức tính số chỉnh hợp:
Mở rộng lớn mang lại tập luyện số rộng lớn hơn[sửa | sửa mã nguồn]
Theo công thức đệ quy thưa bên trên, thì tớ sở hữu 0! = 1, còn những giai quá của số âm ko tồn bên trên. Như vậy giai quá bên trên tập luyện số vẹn toàn vẫn xử lý xong xuôi.
Một yếu tố được đặt điều ra: cần không ngừng mở rộng giai quá mang lại tập luyện số rộng lớn rộng lớn. Nhưng thực hiện thế nào?
Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]
Là công thức có tên một vần âm Hy Lạp tự mái ấm toán học tập Pháp, Adrien-Marie Legendre đưa ra. Hàm số này còn có dạng sau:
Bằng cách thức tích phân từng phần tớ sở hữu được:
Khi cơ tớ có:
Sau này Euler và Weierstrass vẫn biến hóa lại thành:
Tính hóa học cần thiết nhất của chính nó và đã được chủ yếu Euler chứng tỏ, cơ là:
Thay z = một nửa tớ thu được:
Một công thức không giống cũng ko xoàng xĩnh phần cần thiết là:
Hai công thức bên dưới đấy là tự Gauss bệnh minh:
![\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95632da26b256ee27faac11756cdd3d8f837f29)
![\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208fc44198d0e0c574af736a7e225462499eb8d)
Giai quá với số thực[sửa | sửa mã nguồn]
Theo công thức ứng thân thích giai quá với công thức Gamma, những mái ấm toán học tập vẫn đưa ra công thức Pi sở hữu dạng sau:
Như vậy:
Ví dụ:
Giai quá với số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Công thức chủ yếu nhằm tính giai quá vô tình huống này là ước tính Laurent:
với |z| < 1. Khai triển đi ra tớ sở hữu bảng những thông số như sau:
| Xấp xỉ | ||
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Ở trên đây là hằng số Euler - Mascheroni còn là hàm zeta Riemann.
-
.
-
Xem thêm: phân tích đất nước 9 câu đầu
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
-
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
Ngoài đi ra, còn hoàn toàn có thể sử dựng ước tính sấp xỉ theo mô hình nang cao của công thức Stirling với một vài bổ sung cập nhật kèm cặp vơi cơ.
Cụ thể:
Các định nghĩa tương tự[sửa | sửa mã nguồn]
Giai quá yếu tắc (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]
Bài chi tiết: Giai quá vẹn toàn tố
Giai quá vẹn toàn tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của toàn bộ những số yếu tắc nhỏ rộng lớn hoặc tự n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích những số yếu tắc (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt điều theo đòi Harvey Dubner và là kể từ ghép của prime và factorial. Các giai quá vẹn toàn tố trước tiên là:
- 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).
Giai quá kép[sửa | sửa mã nguồn]
Có thể coi n! là tích n thành phần đầu của cung cấp số cùng theo với thành phần đầu tự 1 và công sai tự 1. Mở rộng lớn với công sai tự 2 tớ có:
Giai quá kép là tích n thành phần đầu của cung cấp số cùng theo với thành phần đầu 1 và công sai là 2.
Ví dụ:
- 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
- 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
Dãy những giai quá kép trước tiên là:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n!! | 1 | 1 | 2 | 3 | 8 | 15 | 48 | 105 | 384 | 945 | 3840 |
Định nghĩa bên trên hoàn toàn có thể không ngừng mở rộng cho những số vẹn toàn âm như sau:
Các giai quá kép vẹn toàn âm lẻ trước tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là
- 1, -1, 1/3, -1/15...
Các giai quá kép của số vẹn toàn âm chẵn là ko xác lập.
Một vài ba đẳng thức với giai quá kép:
Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.
Giai quá bội[sửa | sửa mã nguồn]
Ta hoàn toàn có thể nối tiếp không ngừng mở rộng với những giai quá bội phụ vương (n!!!),bội tư (n!!!!)....
Tổng quát mắng, giai quá bội k ký hiệu là n!(k), được khái niệm đệ quy như sau
Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]
Neil Sloane và Simon Plouffe vẫn khái niệm siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai quá trước tiên. Chẳng hạn, siêu giai quá của 4 là
Tổng quát
Các siêu giai quá trước tiên chính thức kể từ n = 0) là
- 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 vô bảng OEIS)
Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley không ngừng mở rộng trở thành siêu fake giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai quá trước tiên. Những độ quý hiếm trước tiên của bọn chúng là (bắt đầu kể từ n = 0):
- 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...
và nối tiếp đệ quy với siêu giai quá bội (multiple-level factorial) vô cơ siêu giai quá bội cung cấp m của n là tích của n siêu giai quá bội cấp(m − 1), nghĩa là
trong cơ for and .
Xem thêm: bác hồ tên thật là gì
Giai quá trên[sửa | sửa mã nguồn]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Factorial (mathematics) bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
- GIAI THỪA của một vài bất ngờ n bên trên Từ điển bách khoa Việt Nam
- Hazewinkel, Michiel chỉnh sửa (2001), “Factorial”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W., "Factorial" kể từ MathWorld.
- Factorial bên trên trang PlanetMath.org.
- Tính toán của giai thừa
Bình luận