Đạo hàm của e mũ x và e mũ -x là gì?

Đạo hàm của $e^x$ cũng chủ yếu vị $e^x$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x \hspace{1cm} (1)$$

Đây cũng đó là điều đặc biệt quan trọng của hàm số này với loại thị tế bào mô tả đạo hàm trùng với loại thị của hàm số gốc,

Đạo hàm của hàm số e nón x

Công thức khái niệm của đạo hàm là,

$$f(a)' = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Mình tiếp tục sử dụng công thức này nhằm chứng minh biểu thức $(1)$,

Ta sở hữu,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

Tách $e^{x+h}$ đi ra, tớ được,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$$

Đặt $e^x$ thực hiện quá số cộng đồng,

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}$$

Đưa độ quý hiếm quá số cộng đồng về trước $\lim$,

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} \hspace{1cm} (2)$$

Bạn hoàn toàn có thể thấy, Khi $h$ tiến thủ về 0, cả tử số và kiểu mẫu số của giới hạn cũng tiến thủ về 0,

Xem thêm: xôi bát bửu
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^0 - 1}{0}$$

Điều này tức là tất cả chúng ta ko thể thay cho thẳng độ quý hiếm $0$ nhập nhằm tính số lượng giới hạn được, nếu như thay cho nhập kiểu mẫu số tiếp tục vị $0$, số lượng giới hạn sẽ ảnh hưởng không xác lập ngay.

Do ê, tất cả chúng ta cần thiết biến hóa tăng một chút ít nữa, tất cả chúng ta hiểu được, số $e$ hoàn toàn có thể được khai triển đi ra như sau,

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \rightarrow 0} \left(1 + n \right)^{\frac{1}{n}}$$

Trở lại với biểu thức $(2)$, tớ bịa,

$$n = e^h - 1 \Rightarrow n + 1 = e^h$$

Theo đặc thù của hàm logarit đương nhiên cơ số $e$, tớ sở hữu,

$$\ln(n + 1) = h$$

Thay nhập biểu thức $(2)$,

$$(2) \Leftrightarrow \frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{n}{\ln(n + 1)} \hspace{1cm} (3)$$

Rút gọn gàng tử số bằng phương pháp nhân tử và kiểu mẫu cho tới $\frac{1}{n}$ tớ sở hữu,

$$(3) = e^x\lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{1}{n} \ln(n + 1)}$$

Áp dụng đặc thù của logarit với $a \ln(b) = \ln \left( b^a \right)$,

$$ \begin{align} & = e^x \lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{\ln \left[ (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \\ & = e^x \frac{1}{\ln \left[ \lim_{n \rightarrow 0} (n + 1)^{\frac{1}{n}} \right] } \hspace{1cm} (4) \\ & = e^x \frac{1}{\ln(e)} \\ & = e^x \frac{1}{1} \\ & = e^x \end{align} $$

Kết ngược ở biểu thức $(4)$ là hệ ngược của việc khai triển cơ số $e$ tôi đã nêu khi đầu nha. Hy vọng bạn cũng có thể nắm vững công việc bản thân chứng tỏ đạo hàm của $e^x$ tiếp tục vị chủ yếu nó.

Xem thêm: tập làm văn lớp 5 tả mẹ